¿Qué es la raíz cúbica y cómo se calcula?
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¿Qué es la raíz cúbica de un número?
La raíz cúbica de un número es ese otro número que multiplicado tres veces por si mismo da el primer número. Dicho de otra manera, es la operación en la cual el radicando (el número que debe multiplicarse por si mismo) tiene un índice de valor 3:
X3 = X*X*X
¿Cuántas soluciones tiene una raíz cúbica?
Los números reales poseen habitualmente tres raíces cúbicas; una raíz es correspondiente a un número real mientras que las otras dos corresponden a números complejos.
¿Con cuántos años y en qué curso se aprende a hacer la raíz cúbica?
En educación secundaria, segundo de la ESO, con 13-14 años.
SARA:
Suso, ¿te rindes? Llevas 1 hora.
ENTRENADORA:
¡Atención, chicos! Hoy vamos a probar una nueva formación. Tres defensas, tres medios defensivos, tres medios ofensivos y 1 delantero en punta.
SUSO:
¿Cómo? ¿Tres, tres, tres...? ¿Muchos treses, no?
PIPE :
Presta atención, Suso, o volverás a liarte como siempre.
ENTRENADORA:
¡Tú lo has dicho, Pipe! Suso digo 3-3-3 porque estoy diciendo el nuevo esquema en ataque, no porque estemos jugando a las raíces cúbicas…
SUSO:
¿Raíces cúbicas?
ENTRENADORA
Si claro, ¿no sabes calcular una raíz cúbica? O ¿al menos sabes lo que es?
SARA:
Yo lo sé; la raíz cúbica de un número es ese otro número que multiplicado 3 veces por si mismo da el primer número.
ENTRENADORA
Eso es, ¿y quién sabe cuál es la Raíz Cúbica de 27?
SUSO:
Pues… La raíz cúbica de 27 es 3. Porque 3 x 3 x 3 = 27.
ENTRENADORA:
Efectivamente… 3 por 3 nos da 9. Y a su vez, 9 por 3 nos da 27. Te has salvado por los pelos de quedarte en el banquillo, Suso.
Veamos otro ejemplo, pero esta vez haciéndolo a la inversa. El dorsal del capitán del equipo es el número 10. Si el resultado de la raíz fuese 10… ¿De qué raíz cúbica estaríamos hablando?
PIPE
Habría que multiplicar 10 x 10 x 10
ENTRENADORA
Eso es, 10 x 10 x 10 = 1.000. Por tanto si 10 es la raíz cúbica… El radicando sería 1.000. Porque la raíz cúbica de 1.000 es… 10
ENTRENADORA:
¿Os acordáis cuando calculábamos raíces cuadradas?
PIPE:
¡Sí! La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo nos da el primer número.
ENTRENADORA:
Exacto. En ese caso el índice de la raíz era 2, puesto que multiplicábamos al número por sí mismo:
Pero en la raíz cúbica multiplicamos el número por sí mismo 3 veces, por tanto el índice de la raíz es 3:
SARA:
Vale, pero eso son números muy pequeños. ¿y si calculamos la raíz cúbica de un número de cuatro cifras?
ENTRENADORA:
Muy bien, os voy a enseñar un método muy sencillo para calcular una raíz cúbica.
Veamos… El año pasado, entre todos los equipos de nuestro campeonato, marcamos 1.728 goles. ¿Cuál sería la raíz cúbica de ese número?
SARA:
¡Lo primero que tenemos que hacer es Factorizar! Es el primer paso para calcular una raíz.
ENTRENADORA:
¿Quieres acercarte a la pizarra y enseñarnos cómo sería, Sara?
Recuerda que para factorizar debemos coger una cifra y dividirla sucesivamente entre los números primos que sean más pequeños que esa cifra.
Los números primos, como sabéis, son aquellos que solo se pueden dividir de forma exacta entre ellos mismos o entre 1.
Así que empezaremos la factorización probando primero con los números primos más pequeños... 2, 3, 5, 7... hasta que encontremos uno donde la división nos salga exacta.
SARA:
¡Vale! Ponemos la cifra a un lado, hacemos una línea vertical y al otro lado ponemos el número entre el cual vamos a dividir. Voy a empezar probando con el primer número primo... el 2. Como 1.728 es un número par, podemos dividirlo de forma exacta entre 2.
La mitad de 1728 es 864.
Vemos que este número también tiene mitad exacta.
A su vez, la mitad de 432 es 216.
Su mitad es 108.
Y la de 54 es 27.
Aunque 27 no tiene mitad exacta, sí podemos dividirlo entre 3, que serían 9.
Y 9 entre 3 son 3. Así llegamos a que 3 entre 3 es igual a 1.
Y habríamos acabado, el uno es el final 😊
ENTRENADORA:
¡Muy bien, Sara!, de esta forma, a la derecha obtenemos una lista de números, los cuales si los multiplicamos todos entre sí, obtenemos la cifra original.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 1.728
ENTRENADORA:
Con lo cual, como podéis ver, podemos agrupar los doses y treses en grupos de tres cifras. Dos grupos con el 2 (2 x 2 x 2 – 2 x 2 x 2) y un grupo con el 3 (3 x 3 x 3). Por tanto, la raíz cúbica de 1728 sería igual a la raíz cúbica de 2 al cubo por 2 al cubo por 3 al cubo.
ENTRENADORA:
¡Recordad! Puesto que el índice de la raíz cúbica es 3, solo podremos extraer fuera de la raíz aquellos números que estén elevados a 3. Como , 23 y 33 están elevados a 3, podemos sacarlos todos.
2, 2 y 3 salen fuera de la raíz sin el exponente, por lo que el resultado de la raíz cúbica de 1.728 es 2 x 2 x 3, y esto nos da 12.
ENTRENADORA:
Ahora vamos a comprobar que 12 es, como hemos calculado, la raíz cúbica de 1.728. Pues bien, para ello solo tenemos que elevar 12 al cubo... ¿cuánto nos sale?
SARA:
El resultado de multiplicar 12 x 12 x 12 es 1.728. La operación es correcta.
ENTRENADORA:
¡Perfecto, Sara! Gracias por tu explicación.
Fijaos, para factorizar lo único que tenemos que hacer es probar a dividir el número que nos han dado entre los números primos más pequeños... ¡y que la división sea exacta!
Hay truco para cada número primo, tranquilos...
Para que un número sea divisible entre 2, éste tiene que ser par.
Para que sea divisible entre 3, solo tenemos que sumar sus cifras, y si nos sale un múltiplo de 3, entonces es divisible entre 3. Por ejemplo... 171 es divisible entre 3, porque 1 + 7 + 1 es igual a 9, que es un múltiplo de 3.
Y para que sea divisible entre 5... fácil, con que acabe en 5 ó en 0 ya sabemos que podremos dividirlo. ¿Entendéis?
TODOS:
¡Siiiii!
SUSO:
Pero Entrenadora... ¿qué pasa si al calcular la raíz cúbica de un número, no podemos sacar todos los radicandos fuera de la raíz? El que se queda dentro, ¿qué, pasamos de él?
ENTRENADORA:
¡Muy buena pregunta, Suso! Anda, salid conmigo al campo que os cuento.
ENTRENADORA:
Veamos, este estadio puede recibir un aforo de 10.584 hinchas. Venga Pipe, calcula tú la raíz cúbica de este número, que te veo preparado.
PIPE:
Vale, vamos a factorizarlo: el primer número primo es el 2, y como 10.584 es par, podemos dividirlo entre 2, lo que nos da 5.292... volvemos a dividirlo entre 2 y sale 2.646, otra vez entre 2... da 1.323. Este ya no es par, voy a probar con el siguiente número primo, el 3. Sus cifras suman, mmm... 1 + 3 + 2 + 3 = 9, que es múltiplo de 3. Vale, divido entre 3 y sale 441, que vuelve a ser divisible entre 3, y da 147...mm de nuevo entre 3... 49.
PIPE:
Vale, 49 ya no es divisible entre 2 porque no es par... y 4 + 9 son 13, que no es múltiplo de 3... tampoco es divisible entre 5...
SARA:
¡Pero sí entre 7! 49 entre 7 nos da 7, lo volvemos a dividir entre 7 y terminamos.
ENTRENADORA:
Muy bien chicos, ¡qué rápidos! Por tanto, el resultado de factorizar 10.584 es
. Bien, vamos a ver cómo calcular entonces esta raíz.
Como bien sabemos, sólo podremos sacar fuera de la raíz aquellos números cuyo exponente sea 3, al igual que el índice. 2 está elevado al cubo, y 3 también, así que los podemos extraer. Pero 7 está elevado al cuadrado, no coincide con el índice, así que, oooooh, se queda dentro de la raíz.
ENTRENADORA:
El resultado de la raíz se dejaría simplemente así, es decir, es igual a6. La forma más correcta en matemáticas es dejar escrita la raíz. Si necesitamos calcular su valor exacto con decimales... siempre podemos usar la calculadora.
Infografía: = 6
ENTRENADORA:
Bueno chicos, ¡lo habéis pillado bastante bien!
SUSO:
Todo esto está muy bien, pero… A mí eso de la formación 3 – 3 – 3 – 1 me parece un poco rara. ¿No sería mejor un 3 – 4 – 3, entrenadora?
ENTRENADORA:
¡Por supuesto, Suso! Solo era para ver si estabas escuchando, prestabas atención y dejabas de estar jugueteando. Y parece que lo he conseguido.